Ordens Importam?

Dizem por aí que a matemática é exata. Aliás, provavelmente desde o início de sua descoberta, ou invenção, se ouve, se lê e se diz sobre da necessidade do uso de convenções.

Há um probleminha que vez por outra surge nas páginas de jornais, nas redes sociais e no ENEM. Trata-se de obter o resultado de 6/2x(1+2).

Tal conta é razoavelmente simples, e fica o convite para o(a) leitor(a) tentar resolvê-la antes de continuar a leitura.

A solução depende do conhecimento da ordem das operações. Em matemática, é necessário conhecer a convenção que indica a ordem pela qual devem ser realizadas as conhecidas operações de soma (ou diferença), multiplicação, divisão e expoentes (incluindo a extração de raízes), abrangendo aquelas que estão entre parênteses (), colchetes [] ou chaves {}, denominadas de agrupamentos. Em inglês e português, tal procedimento é denominado PEMDAS: Parênteses, Expoentes, Multiplicação e Divisão (da esquerda para a direita), Adição e Subtração (da esquerda para a direita).

Sim, as regras matemáticas importam. Entre elas, há as ditas convenções, que servem para determinar o resultado de expressões tão simples como 2+3x5.

Sem a adoção de uma convenção, existem duas soluções possíveis para 2+3x5. Na primeira, simplesmente soma-se dois e três, multiplicando o resultado por cinco. Na segunda, multiplica-se três e cinco, e o resultado é acrescido de dois. Em matemática, a convenção adotada dá preferência a operação de multiplicação, que precede a soma. Assim, o resultado seria a soma entre dois e quinze, resultando em dezessete. Tal procedimento serve para evitar uma ambiguidade de resultados.

Qualquer expressão numérica depende da ordem pelo qual operações são efetuadas. Foi estabelecido que primeiro são resolvidos os argumentos, ou seja, tudo que estiver entre parêntesis, colchetes e chaves, e da esquerda para a direita, seguidas de operações de multiplicação e divisão, e finalmente as de soma e subtração. Desta forma, referente à conta proposta inicialmente, deve-se calcular em primeiro lugar a soma envolvendo um e dois, e depois as operações de divisão e multiplicação (pois ambas têm igual prioridade). Assim, têm-se que 6/2x(1+2) = 6/2x3 = 3x3 = 9.

É importante ressaltar que o outro resultado possível, um, é tambem satisfatório. No entanto, este em particular não segue a convenção, e deve ser, portanto, descartado.

Historicamente, discussões sobre a precedência de multiplicação pela soma existem ao menos desde o século XVI. Apenas há pouco mais de um século as preocupações sobre a abordagem que se tornou PEMDAS passaram a serem descritas em livros didáticos. Num deles, da lavra dos matemáticos americanos Webster Wells (1851 - 1916) e Walter Wilson Hart (1879 - 1977), está estabelecido o seguinte: “as operações indicadas devem ser realizadas na seguinte ordem: primeiro, todas as multiplicações e divisões da esquerda para a direita; depois, todas as adições e subtrações da esquerda para a direita” (“indicated operations are to be performed in the following order: first, all multiplications and divisions in their order from left to right; then all additions and subtractions from left to right”).1

Alguém pode observar que a adoção de tais convenções não é algo comum. É possível discordar, argumentando que em muitos jogos há diversas convenções. Por exemplo, para iniciar um jogo de dominó em geral inicia-se com quem estiver com o maior naipe, a pedra 6-6 ou seis-seis. Na ausência desta, usa-se a 5-5 ou cinco-cinco, e assim por diante. Isto seria o procedimento equivalente ao de começar a resolver expressões matemáticas com os ditos argumentos (parênteses, colchetes ou chaves). Algo similar no jogo de damas é que cada peça deve sempre avançar para frente ou na diagonal num tabuleiro, com exceção daquelas transformadas em damas, onde o movimento pode ser em qualquer direção.

Pode-se tambem citar enquanto exemplo de similaridade as ditas convenções gramaticais, que tratam de regras e padrões que regem a escrita correta em qualquer língua, abrangendo ortografia, pontuação, acentuação e concordâncias verbais, entre outras. Todas elas garantem a uniformidade e a clareza na comunicação escrita, embora possam ser flexibilizadas em escritas criativas, como na poesia. Não à toa, tambem são consideradas sentenças, que nada mais são do que enunciados completos que expressam uma ideia e possuem estruturas definidas, com sujeito e predicado. No exemplo “Luiz adora barco”, o sujeito, escrito em maiúsculo por representar um nome próprio, precede o verbo, que precede o objeto. Faltou a marcação final da sentença, que poderia ser um ponto ou uma exclamação.

Enquanto exercício, propõe-se calcular os possíveis cômputos da expressão numérica 1+2x3. Na primeira opção, simplesmente soma-se um e dois, multiplicando o resultado por três. Na segunda, multiplica-se dois e três, e o resultado é acrescido da unidade. Há, portanto, dois resultados, mas apenas um é considerado seguindo a precedência de uma operação sobre a outra, evitando assim duplicidade.

Em suma, sim, ordens importam no reino da matemática. Dadas atribuições ou prioridades, o resultado de uma sequência de operações é único e, portanto, sem dúvidas e sem ambiguidade, seguindo as mais antigas práticas desenvolvidas pelos pioneiros(as) matemáticos(as).

Marcio Luis Ferreira Nascimento é professor da Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Química da UFBA e pesquisador do Senai-Cimatec