As samambaias, o Jurassic Park e os fractais

Dinossauros foram répteis extraordinários que viveram há pelo menos 230 milhões de anos. Por pouco mais de 130 milhões de anos dominaram a Terra, muito tempo antes da humanidade despertar. Filmes como Jurassic Park: O Parque dos Dinossauros (lançado originalmente em 1993), bem como o novo filme da franquia denominado Jurassic World: O Mundo dos Dinossauros (em exibição em 2015) atiçam nossa imaginação sobre estes seres incríveis.Curiosamente há outros seres igualmente espantosos que existem desde a época dos dinossauros, e praticamente não mudaram (esta seria uma razão para espanto!) - são as samambaias, que alguns especialistas denominam de “fósseis vivos”, mas de fato pertencem ao grupo das pteridófitas. Foram os antigos índios tupis que escolheram este nome especial para uma singela plantinha que hoje costuma ornamentar casas.É possível conceber a estrutura da samambaia de forma matemática. De fato, esta foi descoberta no mesmo ano de divulgação do ilustre filme em 1993 pelo célebre matemático inglês Michael Fielding Barnsley (n. 1946). Mas para entender como construir uma samambaia é importante conhecer a “Árvore Pitagórica”.Árvore Pitagórica (Foto: Wikimons)Esta árvore especial foi elaborada pela primeira vez pelo professor de matemática holandês Albert Eckart Bosman (1891 – 1962) em 1942. Ele homenageou o famoso matemático grego Pitágoras de Samos (c. 569 – c. 475), que descobriu o notável teorema que leva seu nome. A construção deste objeto é extremamente fácil, a partir dos seguintes passos: considere um quadrado (estágio 0); a partir deste elaboramos dois novos quadrados, menores, na parte superior (estágio 1), e assim por diante (estágios 2, 3...). Importante ressaltar que o estágio 1 consiste essencialmente no teorema pitagórico, onde a soma da área de dois quadrados menores resulta na área do quadrado maior. A estrutura resultante a partir de algumas iterações (i.e., repetições deste procedimento) é denominada de fractal. Fractais são estruturas que apresentam o que os matemáticos chamam de autosimilaridade: trata-se simplesmente da semelhança de uma forma reproduzida em qualquer escala – ou ainda, uma pequena parte que pode representar o todo. O estágio 1 da Árvore Pitagórica pode ser considerado uma 1ª copia, que é reproduzida no estágio 2 de forma reduzida, compondo os ramos da árvore, como se estivéssemos colando cópias menores. Um curioso fractal da natureza é o singelo brócolis. Outro é a samambaia, pois cada parte da planta pode representar o todo (se ainda não notou, verifique!).Bom, e como construir uma samambaia? É igualmente fácil a receita (ou se preferir, algoritmo). De acordo com Barnsley, a partir de uma estrutura original (estágio 0) toma-se uma 1ª cópia reduzida de 0,85 (ou seja, 85% da original), tanto no comprimento como na largura. A 2ª cópia pode ser feita com 0,30 de comprimento. Já a 3ª cópia tem as mesmas dimensões mas foi invertida, como num espelho. A última imagem poderia ser mais uma cópia, mas podemos incluir apenas um traço vertical, de altura 0,16 da imagem original, apenas para simplificar. Realizando uma seqüência de colagens destas estruturas, é possível criar novas figuras, repetidas em escala (denominados estágios 1, 2, 3...). O resultado é simplesmente fascinante, conforme ilustração.Considerando tais figuras com regras iniciais bastante simples, a noção de realidade passa a depender apenas da escala fractal (ou mais precisamente do número de iterações efetuadas). As paisagens aparentemente naturais em filmes modernos que se utilizam de animações gráficas como Universidade Monstros (2013) ou ainda Jurassic World: O Mundo dos Dinossauros (2015) são baseadas em fractais. Que belo exemplo para uma feira de ciências de escola, envolvendo biologia, matemática e arte, não é mesmo?Professor da Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Química e do Instituto de Humanidades, Artes e Ciências da UFBA(*) Com o auxílio de Ana Carolina Sampaio Bulhosa